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深度优先搜索算法的通用解法

一、深度优先搜索

深度优先搜索算法(Depth First Search),是图论中的经典算法。
深度优先搜索算法是沿着树的深度遍历树的节点,尽可能深的搜索树的分支。当结点所有子结点那一层都被搜索过,再回溯返回到当前结点的邻结点,继续搜索,直到遍历完整棵树。一般采用的是前序遍历,先根然后再左右结点的方式进行。
一些经典的问题,比如八皇后、马走日、迷宫等,都可以通过深度优先搜索算法来解决。
为了方便描述,下文用DFS来做为深度优先搜索算法的简称。

二、我对DFS的认识
对于DFS,我相信很多人第一次接触很难设计出相应的算法,即便是有不错的编程经验。我第一次几乎没办法设计出解决八皇后的算法,即便是想了很久。最后没办法只好参照别人写的递归式的DFS。之后,虽然对这个算法有一点了解,但由于了解不够深度,过了几天就记不得了,下次又完全不知道怎么入手。然后需要再到网上搜下代码,看一遍后大概才双知道。而且发现每次写代码的时候心里总觉得不踏实,一开始总有错误的地方,并且每次写的代码都有些不同。总之,写过很多次后,依然是停留到了解的阶段,没办法进一步提升,特别是非递归式的DFS一直都停留到靠脑力记忆而不是理解的阶段。

今天周末有点时间,觉得有必要解决这些问题,试着花时间去归纳总结DFS的本质,看能否做到一劳永逸。
我设定的目标是:
1、不仅停留到理解阶段,而是要知道这个算法每一步的实现
2、捉住其中的本质,给出这个算法的设计框架。
3、在1与2的基础中,可以熟练写出递归与非递归两种实现方式 。

经过一个下午的研究,我发现任何DFS只需要通过下面几步就可以实现,无论是递归还是非递归方式。我给这几步分别做了一个命名,分别是find、forward、done、back。
如下:
1、find(right):在树的当前层,横向遍历,尝试找到ok的节点。(这一步通常被叫做剪枝,只留下ok的。)
2、forward(down):若在当前层找到ok的结点,并且当前层不是最后一层:把ok的节点放到当前层;进入下一层第一个结点。跳到find
3、done(right):若在当前层找到ok的结点,并且当前层是最后一层:打印出结果;进入当前层的下一个结点。跳到find
4、back(up):在当前层没有找到ok的节点:返回上一层当前结点的下一个兄弟节点。跳到find

其实最重要的是find。然后后面的forward、done、back只是用来控制搜索走向。这四步可以进一步总结成两步。
为了了解算法,我想最好的切入方式是从一些实例开始。下面分别从八皇后以及马走日等问题做为切入点来分析DFS

三、用DFS解八皇后

1、问题描述
八皇后问题是一个以国际象棋为背景的问题:如何能够在8×8 的国际象棋棋盘上放置八个皇后,使得任何一个皇后都无法直接吃掉其他的皇后?
也就是说,使得棋盘中每个横向、纵向、左上至右下斜向、右上至左下斜向均只有一枚皇后。
八皇后有92组解,下面给出其中一种解的图例:

Image

2、 问题分析

规则是每一个皇后与前面的所有皇后不能在同一行、同一列、同一对角线。我们可以从第0行,第0列开始摆放,然后按照深度优先的原则,按照规则往更下面的行摆放皇后,直到摆放完8行。因为解不只一个,当某一行(包括最后一行跟最后一行之前的所有行)的所有列都被尝试过,再回溯返回到上一行,继续深度优先,直到遍历完整个棋盘的所有情况。得出所有的解。
八皇后问题可以看成是在深度为8的8叉树中,找出所有的解。

3、代码实现

递归算法:

#include <stdio.h>
#include <math.h>

/*八皇后问题是在8*8的棋盘上放置8枚皇后,使得棋盘中每个横向、纵向、左上至右下斜向、右上至左下斜向均只有一枚皇后。
求解出所有摆法,一共有92种摆法*/

const int N = 8; //棋盘行数
int a[N] = {0}; //表示棋盘,若a[2]=2,则表示在第3行第2列放一个皇后,因为同一行不能放两个皇后,所以只需要1维数组就可以表示一个棋盘。

int solution = 0;//解的个数

//row行,col列, 是否可以摆皇后
bool IsOK(int row, int col)
{
    for (int i = 0; i < row; i++)
    {
        if (a[i] == col || (abs(a[i] - col) == row - i))
        {
            return false;
        }
    }
    return true;
}

void Display()
{
    printf("第%d种解:\n",++solution);
    for (int i = 0; i < N; i++)
    {
        for (int j = 0; j < N; j++)
        {
            if (a[i] == j)
            {
                printf("%d", i);
            }
            else
            {
                printf("#");
            }
        }
        printf("\n");
    }

    printf("-----------------\n");
}

void DSF(int row)
{
    for (int col = 0; col < N; col++)
    {
        //find
        if (IsOK(row, col))
        {
            a[row] = col;
            //forward
            if (row != N -1)
            {
                DSF(row + 1);
            }
            else
            {
                //done
                Display();
            }
            
        }
    }
    //back
}

int main()
{
    DSF(0);
    return 0;
}

非递归算法:

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <stack>
using namespace std;
/*八皇后问题是在8*8的棋盘上放置8枚皇后,使得棋盘中每个横向、纵向、左上至右下斜向、右上至左下斜向均只有一枚皇后*/

const int N = 8; //棋盘行数
int a[N] = {0}; //表示棋盘,若a[2]=2,则表示在第3行第2列放一个皇后,因为同一行不能放两个皇后,所以只需要1维数组就可以表示一个棋盘。

int solution = 0;//解的个数

struct Node
{
    int row;
    int col;
};

//row行,col列, 是否可以摆皇后
bool IsOK(Node node)
{
    for (int i = 0; i < node.row; i++)
    {
        if (a[i] == node.col || (abs(a[i] - node.col) == node.row - i))
        {
            return false;
        }
    }
    return true;
}

//打印出所有解
void Print()
{
    printf("第%d种解:\n", ++solution);
    for (int i = 0; i < N; i++)
    {
        for (int j = 0; j < N; j++)
        {
            if (a[i] == j)
            {
                printf("%d", i);
            }
            else
            {
                printf("#");
            }
        }
        printf("\n");
    }

    printf("-----------------\n");
}

void DSF()
{
    Node node;
    stack stack;

    node.row = 0;
    node.col = 0;
    stack.push(node);
    while(stack.size() >= 1)
    {
        //--find
        node = stack.top();
        while (node.col < N && !IsOK(node))
        {
            node.col++;
        }

        if (node.col < N)
        {
            //--forward
            if (node.row < N-1)
            {
                //把ok的节点放到当前层
                a[node.row] = node.col;
                stack.pop();
                stack.push(node);
                
                //进入下一层的第一个节点
                node.row++;
                node.col = 0;
                stack.push(node);
            }
            else
            {
                //--done
                a[node.row] = node.col;
                Print();
                
                //进入当前层的下一个结点
                //node = stack.top();
                node.col++;
                stack.pop();
                stack.push(node);
            }
        }
        else
        {
            //--back
            stack.pop();
            
            if (stack.size() == 0)
            {
                return;
            }
            node = stack.top();
            node.col++;
            stack.pop();
            stack.push(node);

        }

    }

}

int main()
{
    DSF();
    return 0;
}



三、马走日

1、问题描述
在n*n的棋盘中,马只能走"日"字。马从位置(0,0)出发,把棋盘的每一格都走一次且只走一次。找出所有路径。 5*5的棋盘上,有304种解。
下面是其中一种路径的图例:

Image

2、问题分析
搜索过程是从(0,0)出发,按照深度优先的原则,从8个方向中尝试一个可以走的点,直到尝试过所有的方向,走完棋盘上的所有点,得出所有的解。
马走日问题可以看成是在层数为n*n的8叉树中,找出所有的解。

3、代码实现
同样的,也可以把上面的算法框架,套用于马走日的身上。
递归算法:

#include <stdio.h>

/*马走日*/

const int N = 5; //棋盘行数跟列数
int matrix[N][N] = {0}; //表示棋盘
int solution = 0;//解的个数
int count = 0; //第几步
int move[8][2]={{-1,-2},{-2,-1}, {-2,1},{-1,2},{1,2},{2,1},{2,-1},{1,-2}};//八个方向

//在棋盘范围内,而且可放棋
bool IsOK(int x, int y)
{
    if(( x <= N-1 ) && (x >=0 )
        && (y <= N-1 ) && (y >=0 )
        && (matrix[x ][y ]==0 ))
    {
        return true;
    }
    else
    {
        return false;
    }
}


//打印出所有解
void Display()
{
    printf("第%d种解:\n",++solution);
    for (int i = 0; i < N; i++)
    {
        for (int j = 0; j < N; j++)
        {
            
            printf("%3d",matrix[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }
    
    printf("-----------------\n");
}
void DFS(int x, int y)
{
    int nextX, nextY;


    for (int i = 0; i < 8; i++)
    {
        nextX = x + move[i][0];
        nextY = y + move[i][1];
        //--find
        if (IsOK(nextX, nextY))
        {
            
            if (count != N*N -1 )
            {
                //--forward
                count++;
                matrix[nextX][nextY] = count;
                
                DFS(nextX, nextY);
                matrix[nextX][nextY] = 0;
                count--;
            }
            else 
            {
                //--done
                Display();
            }
        }
    }
    //--back
}

int main()
{
    matrix[0][0] = 1;
    count = 1;
    DFS(0, 0);
    return 0;
}

非递归算法:

#include <stdio.h>
#include <stack>
using namespace std;

/*马走日*/

const int N = 5; //棋盘行数跟列数
int matrix[N][N] = {0}; //表示棋盘
int solution = 0;//解的个数
int count = 0; //第几步
int move[8][2]={{-1,-2},{-2,-1}, {-2,1},{-1,2},{1,2},{2,1},{2,-1},{1,-2}};//八个方向

//注意find这一步当前层的的结点,结点的坐标不是x与y,而通过Node中的x与y与direction三者计算后得到当前层的结点
struct Node
{
    int x;
    int y;
    int direction;
};

//在棋盘范围内,而且可放棋
bool IsOk(Node node)
{
    int x, y;
    x = node.x + move[node.direction][0];
    y = node.y + move[node.direction][1];
    if(( x <= N-1 ) && (x >=0 )
        && (y <= N-1 ) && (y >=0 )
        && (matrix[x][y]==0 ))
    {
        return true;
    }
    else
    {
        return false;
    }
}

//打印
void Print()
{
    printf("第%d种解:\n",++solution);
    for (int i = 0; i < N; i++)
    {
        for (int j = 0; j < N; j++)
        {
            
            printf("%3d",matrix[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }
    
    printf("-----------------\n");
}


void DFS()
{
    Node node;
    stack stack;
    int x, y;
    count = 1;
    node.x = 0;
    node.y = 0;
    node.direction = 0;
    matrix[0][0] = count++;
    stack.push(node);

    node.direction = 0;
    stack.push(node);
    
    while(stack.size() >= 2)
    {
        //--find
        node = stack.top();
        while (node.direction < 8 && !IsOk(node))
        {
            node.direction++;
        }
        if (node.direction < 8)
        {
            //--forward
            if (count < N * N)
            {
                //把ok的节点放到当前层
                stack.pop();
                stack.push(node);

                x = node.x + move[node.direction][0];
                y = node.y + move[node.direction][1];
                matrix[x][y] = count++;
                
                //进入下一层的第一个节点
                node.x = x;
                node.y = y;
                node.direction = 0;
                stack.push(node);
            }
            else
            {
                //--done
                //打印出结果;
                x = node.x + move[node.direction][0];
                y = node.y + move[node.direction][1];
                matrix[x][y] = count++;
                Print();
                //注意先清除当前结点的数据
                matrix[x][y] = 0;
                count--;
                //进入当前层的下一个结点;
                node.direction++;
                stack.pop();
                stack.push(node);
            }
        }
        else
        {

            //----back
            //返回上一层当前结点的下一个节点
            stack.pop();
            if (stack.size() == 1)
            {
                return;
            }
            node = stack.top();
            //注意先清除当前结点的数据
            x = node.x + move[node.direction][0];
            y = node.y + move[node.direction][1];
            matrix[x][y] = 0;
            count--;

            node.direction++;
            stack.pop();
            stack.push(node);
            
        }
    }
}


int main()
{
    DFS();
    return 0;
}


四、DFS有更多的变种,但都可以通过上面所说的四个步骤云解决。未完,待续。。。。

五、代码:
https://github.com/helloitworks/algorithm/tree/master/dfs

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